题目

为什么非等腰三角形一边的垂直平分线与对角的角平分线交点在三角形外部

提问时间：2020-08-10

答案

反证法：
不妨设在△ABC中,MN是BC的垂直平分线,OA是∠BAC的平分线,OA交MN于点P
假设点P在△ABC内,则有：
PB＝PC (P在MN上)
∠PAB＝∠PAC (P在OA上)
过P作PG⊥AB于G,PH⊥AC于H,则∠PGA＝∠PHA＝90°
∴∠APG＝∠APH (等角的余角相等)
即在△APG和△APH中,
∠PAG＝∠PAH (已证)
AP＝AP (公共)
∠APG＝∠APH (已证)
∴△APG≌△APH (ASA)
∴AG＝AH,PG＝PH
即在Rt△PGB和Rt△PHC中,
PG＝PH (直角边)
PB＝PC (斜边)
∴Rt△PGB≌Rt△PHC (HL)
∴BG＝CH
又AB＝AG＋BG,AC＝AH＋CH
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形,这显然与已知条件矛盾
∴假设点P在△ABC内是错误的
∴点P在△ABC外部