题目

设数列｛bn｝的前n项和为sn,且bn＝1－2sn；数列｛an｝为等差数列,且a5＝14,a7＝20.求数列｛bn｝的通项公式 若cn＝an×bn,n＝1.2.3.Tn为数列｛cn｝的前n项和,求证:Tn＜7／4

提问时间：2020-08-10

答案

Sn=(1-bn)/2
Sn+1=(1-bn+1)/2
两式相减得到 bn+1=(bn-bn+1)/2 所以 3bn+1=bn ；bn为等比数列公比为1/3
b1=1-2S1=1-2b1 所以b1=1/3 所以bn=(1/3)^n;
d=(a7-a5)/2=3 所以an=a5+(n-5)×3=3n-1；
cn=(3n-1)*(1/3)^n
所以 Tn=1/3*2+(1/3)^2*5+(1/3)^3*8+·······+(1/3)^n*(3n-1)
1/3×Tn= (1/3)^2*2+(1/3)^3*5+·······+(1/3)^n*(3n-4)+(1/3)^(n+1)*(3n-1)
上面的两式相减可得到
2/3×Tn=3*(1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+···········+(1/3)^n)-1/3-(1/3)^(n+1)*(3n-1)
Tn=7/4-((1/3)^n-2)/4-((1/3)^n*(3n-1))/2