题目

定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,
都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1
(1)求函数f(x)的表达式.
(2)若m^2-tm-1

提问时间：2020-08-08

答案

（1）另m=x,n=1,得到f(x+1)=f(x)+4x
+3；所以：
f(2)=f(1)+4*1+3
f(3)=f(2)+4*2+3
f(4)=f(3)+4*3+3
.
f(x)=f(x-1)+4*(x-1)+3
累加得,f(x）=f(1)+4*（1+2+3+...+(x-1))+3*(x-1)
=2x²+x-2
2、由(1)显然知,f(x)最小值为1,所以m²-tm-1≤1对任意m∈[-1,1]恒成立
当m=0时,对t∈R不等式均成立；
当m＜0时,原式等价于t≤m-2/m在m∈[-1,0)恒成立,而函数m-2/m的最小值为1(函数为单增函数),所以t≤1；
当m＞0时,原式等价于t≥m-2/m在m∈(0,1]恒成立,而函数m-2/m的最大值为-1(函数为单增函数),所以t≥-1
综上可得,-1≤m＜0时,t≤1
m=0时,t∈R
0＜m≤1时,t≥-1