题目

已知函数y=x+a/x有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,√a]上是减函数,在[√a,+∞)上是增函数
求(1)如果函数y=x+b^2/x(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值；
(2)研究函数y=x^2+c/x^2(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由；
(3)对函数y=x+a/x和y=x^2+a/x^2(常数a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只需写出结论,不必证明）；

提问时间：2020-08-08

答案

(1)该函数在(0,√a]上是减函数,在[√a,+∞)上是增函数
说明函数最小值在x=√a取到,y(min) = 2√a
y=x+b^2/x
a = b^2
2√a = 2√(b^2) = 2b = 6
所以b=3
(2)令z = x^2
则函数y=z+c/z在 c属于(0,√c）上是减函数,在z属于(√c,+∞)上是增函数
则函数 y = x^2+c/x^2在 x^2属于(0,√c）上是减函数,在x^2属于(√c,+∞)上是增函数
即 则函数 y = x^2+c/x^2在 x属于[-4次根号下c,0)上是增函数,在x属于（0,4次根号下c]上是减函数,在x属于(-∞,-4次根号下c]上是减函数,在x属于[4次根号下c,+∞）上是增函数
(3) y = x^n +d/x^n (d>0,n是正整数)
如果n为奇数
函数在（-∞,2n次根号下d]上是增函数,在 〔-2n次根号下d,0）上是减函数,(0,2n次根号下d]上是减函数,在[2n次根号下d,+∞)上是增函数
如果n为偶数
函数在（-∞,2n次根号下d]上是减函数,在 〔-2n次根号下d,0）上是增函数,(0,2n次根号下d]上是减函数,在[2n次根号下d,+∞)上是增函数