题目

求过点A（2,3）,被两直线L1：3x+4y-7=0和L2:3x+4y+8=0截得的线段长为3倍根号2的直线L的方程

提问时间：2020-08-08

答案

设直线L的方程是y-3=k(x-2)
L:y=kx-2k+3...1
L1:3x+4y-7=0...2
L2:3x+4y+8=0...3
将1式代入2式,找出L与L1交点:
3x+4(kx-2k+3)-7=0
x=(8k-5)/(4k+3)...A
再将A代入2式中:
3A+4y-7=0
y=(k+9)/(4k+3)
所以L与L1交点是【(8k-5)/(4k+3),(k+9)/(4k+3)】
将1式代入3式,找出L与L2交点:
3x+4(kx-2k+3)+8=0
x=(8k-20)/(4k+3)...B
再将B代入3式中:
3B+4y+8=0
y=(9-14k)/(4k+3)
所以L与L2交点是【(8k-20)/(4k+3),(9-14k)/(4k+3)】
截得的线段长3√2,所以这两交点之间距离是3√2.由距离公式可得:
3√2=√【[(8k-5)/(4k+3)-(8k-20)/(4k+3)]²+[(k+9)/(4k+3)-(9-14k)/(4k+3)]²】
63k²+432k-63=0
解得k=-7或k=1/7
把k值分别代入L中,解得两条L方程是:
7x+y-17=0或x-7y+19=0
另一个方法:
直线L1斜率=-3/4,直线L2斜率=-3/4,所以L1和L2是两条平行线.他们的距离d是|8-(-7)|/√(3²+4²)=3
经画图知道,直线L和两平行直线夹角是45°
设直线L斜率为k:
tan45°=|(k2-k1/(1+k1k2)|
则1=|k-(-3/4)|/(1-3k/4)
解得k=-7或k=1/7
用点斜式方程:y-3=k(x-2)
再把k值代入L的方程中,得到:
7x+y-17=0或x-7y+19=0