题目
已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.
提问时间:2020-08-08
答案
二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是:
对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,
∴
即
整理得
解得p≥
,或p≤-3,
∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,
使f(c)>0的实数p的取值范围是(−3,
).
对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,
∴
|
即
|
整理得
|
解得p≥
3 |
2 |
∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,
使f(c)>0的实数p的取值范围是(−3,
3 |
2 |
由于二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1的图象是开口方向朝上的抛物线,故二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间
[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定为对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,即f(-1),f(1)均小于等0,由此可以构造一个关于p的不等式组,解不等式组即可求出实数p的取值范围.
[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定为对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,即f(-1),f(1)均小于等0,由此可以构造一个关于p的不等式组,解不等式组即可求出实数p的取值范围.
一元二次方程的根的分布与系数的关系.
本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系,其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线,得到对于区间
[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0时,
是解答本题的关键.f(1)≤0 f(−1)≤0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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