题目

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

|OP|

|OM|

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

提问时间：2020-08-08

答案

（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得

a−c＝1 a+c＝7

，解得a=4，c=3，
所以椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

7

=1．
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知

|OP|2

|OM|2

=λ²及点P在椭圆C上，可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ²，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=

3

4

时，化简得9y²=112．
所以点M的轨迹方程为y=±

4 7

3

（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠

3

4

时，方程变形为

x2

112 16λ2−9

+

y2

112 16λ2

=1，
其中x∈[-4，4]；
当0＜λ＜

3

4

时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当

3

4

＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由椭圆的性质可得

a−c＝1 a+c＝7

从而解决．
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|OP|2

|OM|2

=λ²及点P在椭圆C上，可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ²，整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．再按照圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．