题目

已知函数f(x)=2(根号3)sin（x/3）cos（x/3）-2sin²（x/3)
(1)若x∈【0,π】,求f(x)值域
（2）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f（C）=1,且b²=ac,求sinA的值
求解析急

提问时间：2020-08-07

答案

根据倍角公式,化简函数如下
f(x)=(√3)×2sin(x/3)cos(x/3)+1-2sin²(x/3)-1
=(√3)sin(2x/3)+cos(2x/3)-1
=2×(√3/2)sin(2x/3)+2×(1/2)cos(2x/3)-1
=2sin(2x/3+π/6)-1,x∈[0,π].
所以：
（1）f(x) 值域为 [2×(1/2)-1,2×1-1],
即 [0,1]；
（2）f(C)=1,且A、B、C∈(0,π)
即 2sin(2C/3+π/6)-1=1
解得 C=π/2,即△ABC为直角三角形,
所以
a²+b²=c²,且已知 b²=ac
解得
a：b：c=[(√5-1)/2]：√[(√5-1)/2]：1
所以
sinA=a/c=(√5-1)/2