题目

已知{a_n}为等差数列，且a₃=-6，a₆=0．
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{b_n}满足b₁=-8，b₂=a₁+a₂+a₃，求{a_nb_n}的前n项和公式．

提问时间：2020-08-07

答案

（I）设等差数列{a_n}的公差d．
∵a₃=-6，a₆=0，∴

a1+2d＝−6 a1+5d＝0

，解得a₁=-10，d=2，
所以a_n=-10+（n-1）•2=2n-12；
（Ⅱ）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₂=a₁+a₂+a₃=-10+（-8）+（-6）=-24，b₁=-8，
∴-8q=-24，解得q=3，
所以bn＝(−8)3n−1，
则a_nb_n=（2n-12）•（-8）•3^n-1=-16（n-6）3^n-1，
设{b_n}的前n项和为S_n，则Sn＝−16[−5•30−4•3−3•32-…+（n-6）•3^n-1]，
3S_n=-16[-5•3-4•3²-3•3³-…+（n-6）•3ⁿ]，
两式相减得，-2S_n=-16[-5+3+3²+…+3^n-1-（n-6）•3ⁿ]
=-16[-5+

3(1−3n−1)

1−3

−(n−6)•3n]，
解得S_n=-8[

13

2

+(n−

13

2

)3n]．

（I）设公差为d，由a₃=-6，a₆=0可得a₁，d的方程组，易求a₁，d，根据等差数列通项公式可求得a_n；
（Ⅱ）表示出a_nb_n，利用错位相减法可求得其前n项和；

本题考点：数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式、数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．