题目

已知二次函数y=x²-2（m-1）x+2m²-2
（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在某一函数图象上，并求出此图象的函数解析式；
（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为2

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，求出此二次函数的解析式．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）二次函数的顶点坐标为（m-1，m2+2m-3），顶点坐标在某一函数的图象上，即横坐标为x=m-1，纵坐标为y=m2+2m-3=（m-1）（m+3）=（m-1）（m-1+4）=x（x+4）=y=x2+4x，故不论m为何值，二次函数的顶点都在抛物线y=x2+...

（1）先根据二次函数的解析式求出其顶点坐标，而其顶点坐标为新函数上任意一点，即横坐标为x=m-1，纵坐标为y=m²+2m-3，整理即可得到所求函数的解析式；
（2）根据根与系数的关系求出两根之积与两根之和的表达式，再将|x₂-x₁|=2

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两边平方，转化为关于m的方程，解答即可．

本题考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

考点点评：此题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数根与系数的关系，综合性较强，要求同学们有较强的分析能力．