题目

设椭圆x^2/16+y^2/b^2=1(4>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(4,b)满足|PF2|=|F1F2|.（1）求椭圆的方程.
（2）若直线PF2与圆（x+1)^2+(y^根号3）^2=16相交于M,N两点求|MN|

提问时间：2020-08-07

答案

（1）|F1F2|=2c,|PF2|=√[(4-c)²+b²]=√[(4-c)²+a²-c²]；
按题意 2c=√[(4-c)²+a²-c²],4c²=4²-8c+a²；
将 a=4 代入解得 c=2；b²=16-2²=12；故椭圆标准方程为 x²/16+y²/12=1；
（2）坐标F2(2,0)、P(4,2√3)；PF2所在直线方程：y=√3*(x-2)；
圆 (x+1)²+(y-√3)²=16 的半径 R=4,圆心坐标(-1,√3)；
圆心到直线PF2的距离（弦心距）d=|y-√3(x-2)|/2=|√3-√3(-1-2)|/2=2√3；
∴ |MN|=2√(R²-d²)=2√[4²-(2√3²)]=4；