题目

是否存在常数a,b,c使得等式1²+3²+5²+…+（2n-1）²=1/3an(bn²+c),对n∈N﹡都成立

提问时间：2020-08-07

答案

这是数学分析或者是高等数学的内容了吧.
其实,可以当作数项求和来做.
1^2+2^2+...+n^2=n(2n+1)(n+1)/6
则：T=1^2+2^2+...+(2n)^2=n(4n+1)(2n+1)/3
令：S1=1^2+3^2+...+(2n-1)^2
S2=2^2+4^2+...+(2n)^2
S2-S1=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+.+(2n)^2-(2n-1)^2
令ak=4k-1 则a1+a2+...+an=S2-S1=2n^2+n
又由于S1+S2=T=n(4n+1)(2n+1)/3
联立可以解得：S1=n(4n^2-1)/3
即：a=1,b=4,c=-1.
还有另外一种思路：将n=1,n=2,n=3带入,求出abc的值.然后用数学归纳法进行证明,该abc对N*都成立.