题目

如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E，F分别为BC，PC，AB的中点．

（1）求证：AC⊥PB；
（2）在棱PA上是否存在一点G，使得FG∥平面ADE？证明你的结论．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）证明：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²
∴AC⊥AB，
又PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC．又PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB．
而PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．
（2）取PA中点G时，FG∥平面ADE．
证明如下：
∵D、E分别是棱BC、PC的中点，
∴DE∥PB． 又PB⊄平面ADE，DE⊂平面ADE
∴PB∥平面ADE，
在棱PA上取中点G，连结FG，
∵F是AB中点，
∴FG∥PB，又FG⊄平面ADE，
∴FG∥平面ADE．