题目

在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝

1

2

x3+ax−b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为（　　）
A.

1

8

B.

1

4

C.

3

4

D.

7

8

提问时间：2020-08-07

答案

解析：函数f(x)＝

1

2

x3+ax−b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，
所以f（-1）f（1）＜0，即b2＜(a+

1

2

)2，
也就是b＜a+

1

2

，
故a，b满足

0≤a≤1 0≤b≤1 a−b+ 1 2 ＞0

图中阴影部分的面积为S1＝1−

1

2

×

1

2

×

1

2

＝

7

8

所以，函数f(x)＝

1

2

x3+ax−b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为P＝

S1

S

＝

7

8

故选D．

由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=

1

2

x³+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．

本题考点：几何概型．

考点点评：本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．