题目

奇函数f（x）=

m−g(x)

1+g(x)

提问时间：2020-08-07

答案

（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），
则a²=4，∴a=2，
∴g(x)＝2x，f(x)＝

m−2x

1+2x

．
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴

m−2−x

1+2−x

＝−

m−2x

1+2x

，
整理得m（2^x+1）=2^x+1，∴m=1，
∴f(x)＝

1−2x

1+2x

；
（Ⅱ）∵f′(x)＝

−2.2xln2

(1+2x)2

＜0，∴y=f（x）在R上单调递减．　
也可用f(x)＝

2

1+2x

−1为R上单调递减．　　　
要使对任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0解集非空，
即对任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）＞-f（-2t²+2t-5）解集非空．
∵f（x）为奇函数，∴f（t²+2t+k）＞f（2t²-2t+5）解集非空，
又∵y=f（x）在R上单调递减，∴t²+2t+k＜2t²-2t+5，
当t∈[0，5]时有实数解，
∴k＜t²-4t+5=（t-2）²+1当t∈[0，5]时有实数解，
而当t∈[0，5]时，1≤（t-2）²+1≤10，
∴k＜10．