题目

已知点A（1,1）而且F1是椭圆x^2/9+y^2/5=1的左焦点,P是椭圆上任意一点,求|PF1|+|PA|的最大值和最小值?
（2）已知发F1,F2是椭圆x^2/9+y^2/4=1的两个焦点,点P在椭圆上.如果△PF1F2是直角三角形,求点P的坐标?
（3）已知P为椭圆上任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求：
1）|PF1|×|PF2|的最大值； 2)|PF1|^2+|PF2|^2的最小值

提问时间：2020-08-07

答案

已知点A（1,1）而且F1是椭圆x^2/9+y^2/5=1的左焦点,P是椭圆上任意一点,求|PF1|+|PA|的最大值和最小值?
椭圆:x²/9+y²/5=1
a^2=9,c^2=9-5=4
F2(2,0)
△PAF2中,|PA|-|PF2|≤|AF2|=√2
又|PF1|+|PF2|=2a=6
∴|PA|+|PF1| = |PA|+(6-|PF2|）= 6+(|PA|-|PF2| ≤ 6+√2
即：P在AF2延长线上时,|PA|+|PF1|的最大值是6+√2
因为三角形两边之差小于第三边,所以(|PF2| - |PA|) = 2a - |AF2|
= 2*3 - √2
= 6-√2
即|PA|+|PF1|的最小值为6-√2
已知发F1,F2是椭圆x^2/9+y^2/4=1的两个焦点,点P在椭圆上.如果△PF1F2是直角三角形,求点P的坐标?
c^2=a^2-b^2=5,c=√5,设P坐标为（x,y)
（1）当∠PF2F1=90,P坐标为（√5,y)
|PF2|^2+|F1F2|^2=|PF1|^2,PF1+PF2=6
得(6-|PF1|)^2+20=|PF1|^2
得：|PF1|=14/3
即：20+y^2=196/9
得：y=±4/3,x=√5
(2)当∠PF2F1=90,P坐标为（-√5,y),根据对称性得：y=±4/3,x=-√5
（3）当∠F1PF2=90,P(x,y)
|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2,PF1+PF2=6
解得：|PF1|=2或4
即(x+√5)^2+y^2=4或16
又PF1⊥PF2
(y+√5)/x*(y-√5)/x=-1
联解得：x=-3√5/5或3√5/5
y=±4√5/5
综上,满足条件的点P有8个,分别为（√5,4/3）,（-√5,4/3）,（√5,-4/3）,（-√5,-4/3）,（3√5/5,4√5/5）,（3√5/5,-4√5/5）,（-3√5/5,4√5/5）,（-3√5/5,-4√5/5）
题目是：已知椭圆 x^2/4+y^2=1,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任一点.求
1）|PF1|×|PF2|的最大值； 2)|PF1|^2+|PF2|^2的最小值
设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4,|PF1||PF2|=mn≤ =4.
|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|≥42-2×4=8