题目

已知f（x）=x²-2x-3，试讨论函数f（5-x²）的单调性．

提问时间：2020-08-07

答案

令t=5-x²，显然它的对称轴为x=0，且t≤5．
∵已知f（x）=x²-2x-3的对称轴为x=1，
①当 t=5-x²≥1 时，f（t）为增函数，解得-2≤x≤2．
在区间[-2，0）上，函数t是增函数，故函数f（5-x²）是增函数；
在区间[0，2]上，函数t是减函数，故函数f（5-x²）是减函数．
②当 t=5-x²＜1 时，f（t）为减函数，解得x＜-2，或x＞2．
在区间（-∞，-2）上，函数t是增函数，故函数f（5-x²）是减函数．
在区间（2，+∞）上，函数t是减函数，故函数f（5-x²）是增函数．
综上可得，函数f（5-x²）的增区间为[-2，0）、（2，+∞），
减区间为[0，2]、（-∞，-2）．