题目

直线2x-y-10=0,与双曲线x^2/20-y^2/5=1交于两点P,Q,求以线段PQ为直径的圆的方程

提问时间：2020-08-07

答案

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,而A（x,y）在以PQ为直径的圆上.
因为直径所对的圆周角等于90°,即PA⊥QA,用斜率的语言表示就是
(y-y1)/(x-x1) * (y-y2)/(x-x2) = -1,当然用斜率表示时A不能取为P、Q两点,应该改成
(y-y1)*(y-y2) + (x-x1) *(x-x2) = 0
另一方面,因为P、Q是直线与双曲线的交点,他们的坐标同时满足直线方程和双曲线方程.联立两个方程,如果消去x可以得到y1与y2的关系,如果消去y可以得到x1与x2的关系（初中的韦达定理）：
消去x后,得 3y^2 - 4y - 4 = 0 ,即 y1+y2 = 4/3 ,y1*y2 = -4/3
消去y后,得 3x^2 + 32x + 84 = 0 ,即 x1+x2 = -32/3 ,x1*x2 = 84/3
于是,以PQ为直径的圆的方程为
x^2 + y^2 + 32/3 x - 4/3 y + 80/3 = 0