题目

已知抛物线y²=2px（p＞0）的内接三角形的一个顶点在原点,三条边上的高都过焦点F,求此三角形的外接圆的方程

提问时间：2020-08-07

答案

yujk09老师的答案应该是对的.这里结出较为详细点的解答.由题设,这三角形关于x轴对称,故除原点外,可设三角形的另两个顶点为A(y^2/(2p),y)和B(y^2/(2p),-y),又焦点F(p/2,0).
注意到AF与OB垂直,其对应的斜率乘积等于－1,得：(y-0)/[y^2/(2p)-p/2]*(-y/[y^2/(2p)]=-1
解得 y=±p√5,记:A(5p/2,p√5)、B(5p/2,-)√5).ΔOAB的外接圆圆心为C(x,0),由 |OC|=|AC|
可得：x^2=(x-5p/2)^2+(p√5)^2 解得 x=9p/4.即得圆心为C(9p/4,0),故所求的外接圆方程为：
（x-9p/4)^2+y^2=81p^2/16.