题目

已知抛物线y=根号3/2/乘x2+bx+6倍根号3经过A(2,0)设顶点为p,与x轴的另一交点为B如
如图在直线y=根号3上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?求D坐标
在x轴下方的抛物线上是否存在点M使APM全等于AMB?举例验证

提问时间：2020-08-07

答案

把点A的坐标代入函数解析式得：
√3/2×4＋2b＋6√3＝0
解得：b＝－4√3
∴函数解析式为：y＝√3/2x^2－4√3x＋6√3＝√3/2(x－4)^2－2√3
即P点坐标为(4,－2√3)
令y＝0,得：√3/2x^2－4√3x＋6√3＝0
解得：x＝2或x＝6
故B点坐标为(6,0)
由O、P、B的位置及直线y＝√3可知,若能构成平行四边形OPBD,则OB是对角线
而OB的中点是(3,0)
则点P关于点(3,0)的对称点是(2,2√3)不在直线y＝√3
故不存在点D使四边形OPBD为平行四边形
存在点M使△APM≌△AMB,这是因为：
易求得AP＝BP＝AB＝4
故△APB是等边三角形
过点A作PB的垂线与抛物线的交点就是所求的点M
可求PB的中点E的坐标为(5,－√3)
可求直线AE的函数解析式为：y＝－√3/3x＋2√3/3
与抛物线的函数解析式联立解方程组得：
x＝2,y＝0或x＝16/3,y＝－10√3/9
即M点坐标为(16/3,－10√3/9)