题目

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD

（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）若AD=1，AB＝

3

，BC=4，求直线AB与平面PDC所成角的大小．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）证明：∵PD⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，∴PD⊥AB，
∵底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD
∵PD∩AD=D，∴AB⊥平面PAD；
（2）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC
∴平面PDC⊥平面ABCD．
过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角．

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF＝

3

，CF＝3，
∴tan∠FDG＝

3

，∴∠FDG=60°．
即直线AB与平面PDC所成角为60°．

（1）利用线面垂直的性质，可得PD⊥AB，结合底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，利用线面性质的判定定理可得AB⊥平面PAD；
（2）过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，可得∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角，从而可得结论．

本题考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．