题目

参数方程与极坐标的数学题
在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心,分别作半径为1的圆C1和半径为2的圆C2.点P是圆C2上的任意一点,线段OP与圆C1交于点Q.过点P作PN⊥x轴,垂足为N；过点Q作QM⊥PN,垂足为M.当P点在圆C2上运动时,点M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设A、B、C为曲线E上的三点,且满足 向量OA+向量OB+向量OC=0,求△ABC的面积.

提问时间：2020-08-07

答案

第一问会做是吧,E的方程是x^2/4+y^2=1
第二问,设A(2cost1,sint1),B(2cost2,sint2)
根据向量OA+向量OB+向量OC=0
得出C(-2cost1-2cost2,-sint1-sint2)
因为C也在椭圆上,带入椭圆方程得到cos(t1-t2)=-1/2
然后向量CA=(4cost1+2cost2,2sint1+sint2)
CB=(4cost2+2cost1,2sint2+sint1)
然后根据一个很有用的公式,构成三角形ABC的两个向量AB=(a,b),AC=(c,d).
那么三角形面积可以表示为S=(1/2)|ad-bc|
所以S=(1/2)|(4cost1+2cost2)(2sint2+sint1)-(4cost2+2cost1)(2sint1+sint2)|=3|sin(t1-t2)|=3√3/2