题目

一道是三角函数求最值,一道是不等式证明题
1.a>b>c,求证a^2*b+b^2*c+c^2*a > a*b^2+b*c^2+c*a^2
2.三角形三边abc,a+b+c=6,b^2=a*c
⑴求角B和b边的最大值
⑵设三角形ABC面积为S,则 S+1/BA向量*BC向量 的最大值
第一题已经证出来了，不过第二题第二问还有点问题，请各位多费心了，

提问时间：2020-08-07

答案

1、设t=b-c s=a-c
把原不等式两边相减,得到
a^2*t-b^2*s+c^2*(s-t)=(c^2+2cs+s^2)*t-(c^2+2tc+t^2)*s+c^2*(s-t)=s^2*t-t^2*s=st*(s-t)>0
得证
2、(1)由a+b+c=6,得a+c=6-b,用均值不等式,6-b=a+c>=2倍跟号下ac=2b,解出b<=2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
a^2+c^2>=2ac=2b^2
所以cosB<=1/2,B角最大值是60度
(2)s=1/2*a*c*sinB=1/2*b^2*sinB=2sinB
BA向量*BC向量=c*a*cosB=4cosB
所以原式=2sinB+1/(4cosB),是两个增函数的和,所以当B=60度时取最大值
还有什么问题吗?