题目

在满足方程x²+y²-2x-2y+1=0的实数对(x,y)中,(y)/(x+1)的最大值是?

提问时间：2020-08-07

答案

设Y/(X+1)=K 得 Y=K(X+1) 或 KX-Y+K=0 ----(1)
(X,Y) 在过点(-1,0) 斜率为Kd的直线上；
原式 X²+Y²-2x-2y+1=0 简化得 (X-1)²+(Y-1)²=1 ----- (2)
即 (X,Y)在以圆心为（1,1）,半径为1的圆周上.
(X,Y)同时满足（1）（2）时,即（X.Y）为直线 Y=K(X+1) 与圆X²+Y²-2x-2y+1=0 的交点.
圆周上的所有点与（-1.0）连接成直线,直线斜率K值越大,而K=Y/（X+1）越大.
过点(-1.0)的直线束与圆(X-1)²+(Y-1)²=1 相切,是直线斜率的最大或最小值.
圆与直线相切时,圆心（1.1)到直线 KX-Y+K=0 距离D=|k-1+k|/√(k²+1)=1
解得 K=0 ,K=4/3 并解得此切点x=1/5 y=8/5
过点（-1.0) 及圆周上的点（1/5. 8/5)的直线,斜率K最大,即K=Y/（X+1）最大值为4/3