题目

a为实数,则函数f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|的最小值是多少?

提问时间：2020-08-07

答案

将f(x)写成分段形式：
x >= a,f(x) = 3x^2 - 2ax + a^2
x < a,f(x) = x^2 + 2ax - a^2
对a分类讨论,分别研究左右两段.
若a >= 0,右段抛物线可在x = a取到最小值（因为其对称轴在x = a左边）f(a) = 2a^2,左段抛物线可在x = -a取到最小值f(-a) = -2a^2.故其最小值为f(-a) = -2a^2.
若a < 0,右段抛物线可在x = a/3取到最小值f(a/3) = 2/3 a^2,左段抛物线在f(a) = 2a^2.故而最小值为f(a/3)=2/3 a^2.