题目

为啥导数=0时可取极值?

提问时间：2020-08-07

答案

本题涉及两个方面：充分条件、必要条件
1、有极值时,导数一定为0,这是必要条件.
因为有极值,不是极大值,就是极小值.
如果是极大值：左侧上升,所有点的斜率为正,即所有点的导数 > 0；
右侧下降,所有点的斜率为负,即所有点的导数 < 0.
所以,极大值点处的导数为0.如同圆的上半部分.
如果是极小值：左侧下降,所有点的斜率为负,即所有点的导数 < 0；
右侧上升,所有点的斜率为正,即所有点的导数 > 0.
所以,极小值点处的导数为0.如同圆的下半部分.
2、如果导数为0,就有极大值,或极小值,这就是充分条件.事实上,不是这样.
例如：y = 3 是一条水平的直线,处处导数为0,既非极大值也非极小值；
又如：y = x³,dy/dx = 3x²,x = 0 时,dy/dx = 0,既非极大也非极小；
(这一点,楼上以作说明)
再如：y = x²³,dy/dx = 23x²²,x = 0 时,dy/dx = 0,非极大非极小；
四如：y = x³³,dy/dx = 33x³²,x = 0 时,dy/dx = 0,非极大非极小；
.（不胜枚举）