题目

如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,过点C作⊙O的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD,AD+BC=CD.
求证：AD是⊙O的切线；x05设OE交AC于F,若OF=3,EF=2,求线段BC的长.
此题的图插不上来，麻烦各位自己根据题意画一个图。

提问时间：2020-08-07

答案

如图所示
(1)连接OD
因为AB是⊙O的直径
CB,CD分别与⊙O相切于BE两点
所以CB=CE
因为AD+BC=CD
即AD+CE=CD
可得AD=DE
又因为OA=OE,OD为公共边
所以△ODA≌△ODE (SSS)
所以∠OAD=∠OED=90°
即OA⊥AD,AB为直径
所以AD是⊙O的切线
(2)连接AE,OC
则∠OEA=(180-∠AOE)/2
∠EOC=(180--∠AOE)/2=∠OEA
所以AE∥OC  (内错角相等,两直线平行）
由此可得△AEF∽△COF
可得EF/OF=AF/CF=2/3
所以CF/AC=CF/(AF+CF)=3/5
CF²=EF²+CE²=EF²+BC²=4+BC²
AC²=AB²+BC²=(2OE)²+BC²=100+BC²
CF²/AC²=(3/5)²=9/25=(4+BC²)/(100+BC²)
整理得16BC²=800
BC=5√2