题目
在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆O,点P是圆O在第一象限中的一个动点,过点P作圆O的切
线与X轴交于点A,与Y轴交于点B.(1)点P在运动是,线段AB的长度也在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由.
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
线与X轴交于点A,与Y轴交于点B.(1)点P在运动是,线段AB的长度也在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由.
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
提问时间:2020-08-07
答案
(1)线段AB长度的最小值为4,
理由如下:
连接OP,
因为AB切⊙O于P,
所以OP⊥AB,
取AB的中点C,
则AB=2OC;
当OC=OP时,OC最短,
即AB最短,
此时AB=4;
(2)设存在符合条件的点Q,
如图①,设四边形APOQ为平行四边形;
因为∠APO=90°,
所以四边形APOQ为矩形,
又因为OP=OQ,
所以四边形APOQ为正方形,
所以OQ=QA,∠QOA=45°;
在Rt△OQA中,根据OQ=2,∠AOQ=45°,
得Q点坐标为( 2,- 2);
如图②,设四边形APQO为平行四边形;
因为OQ∥PA,∠APO=90°,
所以∠POQ=90°,
又因为OP=OQ,
所以∠PQO=45°,
因为PQ∥OA,
所以PQ⊥y轴;
设PQ⊥y轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据OQ=2,∠BQO=45°,
得Q点坐标为(- 2, 2).
所以符合条件的点Q的坐标为( 2,- 2)或(- 2, 2).
理由如下:
连接OP,
因为AB切⊙O于P,
所以OP⊥AB,
取AB的中点C,
则AB=2OC;
当OC=OP时,OC最短,
即AB最短,
此时AB=4;
(2)设存在符合条件的点Q,
如图①,设四边形APOQ为平行四边形;
因为∠APO=90°,
所以四边形APOQ为矩形,
又因为OP=OQ,
所以四边形APOQ为正方形,
所以OQ=QA,∠QOA=45°;
在Rt△OQA中,根据OQ=2,∠AOQ=45°,
得Q点坐标为( 2,- 2);
如图②,设四边形APQO为平行四边形;
因为OQ∥PA,∠APO=90°,
所以∠POQ=90°,
又因为OP=OQ,
所以∠PQO=45°,
因为PQ∥OA,
所以PQ⊥y轴;
设PQ⊥y轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据OQ=2,∠BQO=45°,
得Q点坐标为(- 2, 2).
所以符合条件的点Q的坐标为( 2,- 2)或(- 2, 2).
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