题目

在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝

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x+2m和圆x²+y²=n²相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函数f（x）=m^x+1-n的零点x₀∈（k，k+1）k∈Z，则k=______．

提问时间：2020-08-07

答案

∵直线y＝3x+2m和圆x2+y2=n2相切，∴圆心到直线的距离是半径n，∴2m2＝n∴2m=2n，∵m，n∈N，0＜|m-n|≤1，∴m=3，n=4，∴函数f（x）=mx+1-n=3x+1-4，要求函数的零点所在的区间，令f（x）=0，即3x+1-4=0，∴3x+1=4，...

根据直线和圆相切知圆心到直线的距离等于半径，得到关于m和n的一个关系，又有m，n∈N，0＜|m-n|≤1，得到m和n的值，代入所给的函数式，那么本题就变化为求一个函数的零点的范围，两边取对数，写出x的表示式，根据对数的图象得到范围．

本题考点：直线与圆的位置关系；函数的零点．

考点点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查函数的零点，解决本题还要有归纳整理的能力，本题是一个综合题，运算量不大但是解题时技巧性比较强，是一个好题．