题目

定义在R上的函数f（x）满足f(x)＝

log 2(1−x)，x≤0 f(x−1)−f(x−2)，x＞0

，则f（2009）的值为（　　）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

提问时间：2020-08-07

答案

由已知得f（-1）=log₂2=1，f（0）=0，
f（1）=f（0）-f（-1）=-1，
f（2）=f（1）-f（0）=-1，
f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0，
f（4）=f（3）-f（2）=0-（-1）=1，
f（5）=f（4）-f（3）=1，
f（6）=f（5）-f（4）=0，
所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现．，所以f（2009）=f（5）=1，故选C．
故选C．

本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质，要求f（2009）的值，则函数的函数值必然呈周期性变化，由函数的解析式f(x)＝

log 2(1−x)，x≤0 f(x−1)−f(x−2)，x＞0

，我们列出函数的前若干项的值，然后归纳出函数的周期，即可求出f（2009）的值．

本题考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质．

考点点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．