题目

定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0,f(x-1)-f(x-2),x0,则f(2009)的值为

提问时间：2020-08-07

答案

分析：已知函数只有当x≤0时才有解析式f(x)=log2(1-x).
而2009不满足x≤0,所以必须在x≤0内找到和f(2009)相等的值.
因此,转化关系是解决问题的关键.
∵x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2) ①
∴有 f(x+1)=f(x)-f(x-1) ②
①+②得：f(x+1)=-f(x-2) ③
将③中x换成x+3得：f(x+4)=-f(x+3-2)=-f(x+1) ④
再将③代人④得：f(x+4)=f(x-2) ⑤
再将⑤中x换成x+2得：f(x+6)=f(x)
从而得到：f(x)是以6为周期的周期函数.
所以f(2009)=f(-1+335×6)=f(-1)
又∵x≤0时,f(x)=log2(1-x)
∴f(-1)=log2(1-(-1))=log2(2)=1