题目
已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、Q两点距离之和等于6,求M的轨迹方程.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、Q两点距离之和等于6,求M的轨迹方程.
提问时间:2020-08-07
答案
(1)圆x2+y2-2y-3=0化为标准方程:x2+(y-1)2=4
∴圆的圆心P(0,1)…(1分),
设抛物线C:x2=2py…(2分),
∵抛物线C以圆心P为焦点,
∴
=1…(3分),
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x2=4y…(4分).
(2)由方程组
可得y=1…(5分),
依题意,圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,∴A(2,1)…(6分),
抛物线C即函数y=
x2的图象,当x=2时,切线的斜率k=y′=
x=1…(8分),
∴切线为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0…(9分),
∴x=0时,y=-1,所以Q(0,-1)…(10分).
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,
设它的方程为
+
=1(a>b>0)…(12分),
则2a=|MP|+|MQ|=6,2c=|PQ|=2…(13分),
∴a=3,b2=a2-c2=8,
∴M的轨迹方程为
+
=1…(14分).
∴圆的圆心P(0,1)…(1分),
设抛物线C:x2=2py…(2分),
∵抛物线C以圆心P为焦点,
∴
p |
2 |
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x2=4y…(4分).
(2)由方程组
|
依题意,圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,∴A(2,1)…(6分),
抛物线C即函数y=
1 |
4 |
1 |
2 |
∴切线为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0…(9分),
∴x=0时,y=-1,所以Q(0,-1)…(10分).
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,
设它的方程为
x2 |
b2 |
y2 |
a2 |
则2a=|MP|+|MQ|=6,2c=|PQ|=2…(13分),
∴a=3,b2=a2-c2=8,
∴M的轨迹方程为
x2 |
8 |
y2 |
9 |
(1)根据圆x2+y2-2y-3=0的标准方程:x2+(y-1)2=4,可得圆的圆心P(0,1),根据抛物线C以圆心P为焦点,利用待定系数法可求抛物线的方程;
(2)联立方程,组成方程组
,根据圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,可得A的坐标,进而可求切线方程,即可求Q的坐标,利用动点M到P、Q两点距离之和等于6,可知M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,利用待定系数法可求椭圆方程.
(2)联立方程,组成方程组
|
圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程;抛物线的标准方程.
本题以圆为载体,考查圆与圆锥曲线的综合,考查圆锥曲线的定义,解题的根据是判断曲线的轨迹,从而正确运用定义.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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