题目

设函数fx=x^3+ax^2-a^2x+m若a=1时函数fx有三个不同的零点
1)若函数f(x)在X∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;(2)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在X∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.（3）若a=1时,函数f（x）有三个互不相同的零点,求m的取值范围

提问时间：2020-08-07

答案

(1)
对f(x)求导得：
f(x)'=3x^2+2ax-a^2
解得两个极值点分别为：
x1=-a ,x2=a/3
当a=0 时：
x1=x2=0,
故此时f(x)在R上都不存在极值点,满足条件.
当a≠0时：
考虑到 x1=-a和x2=a/3 这两个极值点一定异号,必定两极值点一正一负,而题意要求在[-1,1]之间无极值点,因此：
当a>0 时,要满足题意,则：
x1=-a1
解得：
(3,+∞)
当a1 且 x2=a/30恒成立的,故增区间为:(-∞,-a]U[a/3,+∞)；减区间为：[-a,a/3].由(1)可得到两个极值点的变化情况：
极大值f(-a)的横坐标在[-6,-3]之间变化,在x=-a处取得极大值.而该变化区间小于-2,因此,极大值不在区间[-2,2]内,可得在x~[-2,a/3]中的最大值是f(-2).
极小值f(a/3)的横坐标在[1,2]间变化,由于减区间为x~[-a,a/3],故在区间[a/3,2]中的最大值为f(2).
要使不等式成立,则只需要x~[-2,2]这个区间上的最大值小于等于1就行了,所以有：
f(-2)=-8+4a+2a^2+m≤1 且 f(2)=8+4a-2a^2+m≤1
两式相加得：
m≤1-4a
因为a~[3,6],故m要小于等于（1-4a）的最小值,因此：
m≤(1-4a)min= -23
故m范围为：{m| m≤-23}
(3)
a=1 时：
f(x)=x^3+x^2-x+m
两个极值点分别为：
x1=-1 ,x2=1/3
根据前面两个问题的分析,可知：
f(x)极大=f(-1)=m+1
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27
要使有三个不同的零点,则由图像增减的性质,则有：
f(x)极大=f(-1)=m+1>0
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27