题目

定义在实数集上的函数f（x）,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f（y）：若存在常数c,使f（c/2）=0
.①求证：对任意x∈R,有f（x＋c）＝－f（x）成立

提问时间：2020-08-07

答案

证明：
令 x=x+c/2 y=c/2
代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f（y）
得到
f(x+c)+f(x)=2f(x+c/2)f(c/2)
因为已知f(c/2)=0
所以上式等价于f(x+c)+f(x)=0
也就是f(x+c)=-f(x)