题目

在Rt三角形ABC中,角C＝90度,AC＝4,BC＝2,D是BC的中点,那么（向量AB-向量AC）×向量AD＝?若E是AB中点,P是三角形ABC（包括边界）任意一点,则向量AD×向量EP的取值范围是?

提问时间：2020-08-07

答案

∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,那么
^AD²=(^AB²+^AC²)/2,
^AB²=^AC²+^BC²=16+4=20．
∴(^AB-^AC)·^AD=(^AB-^AC)·(^AB+^AC)/2 =(^AB²-^AC²)/2=(20-16)/2=2．
以CA所在的直线为x轴,以CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A的坐标为（4,0）,B的坐标为（0,2）,
由线段的中点公式可得点D的坐标为（0,1）,点E的坐标为（2,1）,设点P的坐标为（x,y）,
则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域,故有
x≥0
y≥0
x/4+y/2≤1
．
令t=^AD·^EP=（-4,1）·（x-2,y-1）=7-4x+y,即 y=4x+t-7．
故当直线y=4x+t-7过点A（4,0）时,t取得最小值为7-16+0=-9,
当直线y=4x+t-7过点B（0,2）时,t取得最大值为 7-0+2=9,
故t=^AD·^EP的取值范围是[-9,9]
用这个符号表示 ^ 向量了