题目

已知函数f（x）=xln x．若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，则实数a的取值范围为______．

提问时间：2020-08-07

答案

∵f（x）=xlnx，
当x≥1时，f（x）≥ax-1恒成立⇔xlnx≥ax-1（x≥1）恒成立⇔a≤lnx+

1

x

（x≥1）恒成立，
令f（x）=lnx+

1

x

，则a≤f（x）_min（x≥1）恒成立；
∵f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x−1

x2

，
∴当x≥1时，f′（x）≥0，
∴f（x）=lnx+

1

x

在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．