题目

若函数f（x）=4x+

a

x

在区间（0，2]上是减函数，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-08-07

答案

∵f(x)＝4x+

a

x

∴f′(x)＝4−

a

x2

∵函数f(x)＝4x+

a

x

在区间

0，2

上是减函数，
∴f′(x)＝4−

a

x2

≤0在区间

0，2

上恒成立
即a≥4x²在（0，2]上恒成立
∵4x²≤16
∴a≥16
故答案为：a≥16

先对函数求导可得，f′(x)＝4−

a

x2

，由函数f(x)＝4x+

a

x

在区间

0，2

上是减函数，可得f′(x)＝4−

a

x2

≤0在区间

0，2

上恒成立，即a≥4x²在（0，2]上恒成立，可求

本题考点：函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题主要考察了函数的导数与函数的单调性的关系的应用，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化关系的应用．