题目

设f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x) xf′(x)<0且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为

提问时间：2020-08-07

答案

设g（x）=xf（x）,则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0,
∴函数g（x）在区间（-∞,0）上是减函数,
∵f（x）是定义在R上的偶函数,
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数,
∴函数g（x）在区间（0,+∞）上是减函数,
∵f（-4）=0,
∴f（4）=0；
即g（4）=0,g（-4）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0,
设x＞0,故不等式为g（x）＞g（4）,即0＜x＜4
设x＜0,故不等式为g（x）＞g（-4）,即x＜-4
故所求的解集为（-∞,-4）∪（0,4）