题目

已知函数f（x）=lnx²-

2ax

e

提问时间：2020-08-07

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=

2

x

-

2a

e

=

2(e−ax)

ex

．
当a=0时，由f′（x）=

2

x

≥0，解得x＞0；
当a＞0时，由f′（x）=

2(e−ax)

ex

＞0，解得0＜x＜

e

a

；
当a＜0时，由f′（x）=

2(e−ax)

ex

＞0，解得x＞0，或x＜

e

a

．
所以当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0，

e

a

）；
当a＜0时，函数f（x）的递增区间是（-∞，

e

a

）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）因为f′（x）=

2

x

-

2

e

=

2(e−x)

ex

，
所以以p₁（x₁，f（x₁））为切点的切线的斜率为

2(e−x1)

ex1

；
以p₂（x₂，f（x₂））为切点的切线的斜率为

2(e−x2)

ex2

．
又因为切线过点p（0，t），
所以t−lnx12+

2x1

e

＝

2(e−x1)

ex1

(0−x1)；t−lnx22+

2x2

e

＝

2(e−x2)

ex2

(0−x2)．
解得，x₁²=e^t+2，x₂²=e^t+2．则x₁²=x₂²．
由已知x₁≠x₂
所以，x₁+x₂=0．