题目
如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,P是△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=
,那么∠CPA=______度.
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提问时间:2020-08-07
答案
将△ABP绕A点逆时针旋转90°,然后连接PQ,
则AQ=AP=1,CQ=PB=3,∠QAC=∠PAB,
∵∠QAP=90°,
∴∠QPA=45°,
又∵∠PAB+∠PAC=90°,
所以∠PAQ=∠QAC+∠CAP=∠PAB+∠PAC=90°,
所以PQ2=AQ2+AP2=2,且∠QPA=45°,
在△CPQ中,PC2+PQ2=7+2=9=CQ2
∴∠QPC=90°,
∴∠CPA=∠QPA+∠QPC=135°.
故答案为:135°.
则AQ=AP=1,CQ=PB=3,∠QAC=∠PAB,
∵∠QAP=90°,
∴∠QPA=45°,
又∵∠PAB+∠PAC=90°,
所以∠PAQ=∠QAC+∠CAP=∠PAB+∠PAC=90°,
所以PQ2=AQ2+AP2=2,且∠QPA=45°,
在△CPQ中,PC2+PQ2=7+2=9=CQ2
∴∠QPC=90°,
∴∠CPA=∠QPA+∠QPC=135°.
故答案为:135°.
将△ABP绕A点旋转,根据旋转的性质可得出∠QPA=45°,根据勾股定理可证出∠PAQ=90°,从而可得出答案.
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
本题考查了等腰直角三角形及旋转的性质,难度很大,解答本题的关键是将△ABP正确的旋转.
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