题目

在平面直角坐标系xoy中,点p到两点（0,根号3）（0,负根号3）的距离之和为4,设点p的轨迹为C
十万火急!（1）求C的轨迹方程（2）设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点,求k为何值时向量OA垂直于向量OB?

提问时间：2020-08-07

答案

(1)p的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,长轴为y轴,长半轴为4/2=2,焦距为√3,短半轴为√[2^2-(√3)^2]=1,所以p的轨迹方程为x^2/1^2＋y^2/2^2=1,即x^2＋y^2/4=1①.(2)将y=kx＋1代入①,得两个交点的坐标分别为x1=[2√(3＋k^2)-k]/(4＋k^2)、y1=[2k√(3＋k^2)＋4]/(4＋k^2)；x2=[-2√(3＋k^2)-k]/(4＋k^2)、y2=[-2k√(3＋k^2)＋4]/(4＋k^2)；如果OA⊥OB,那么有(y1/x1)×(y2/x2)=-1②,将x1、y1,x2、y2代入②得k=±1/2③,即所求直线有两条,分别为y=x/2＋1和y=-x/2＋1.