题目

是否存在这样的实数k，使得二次方程x²+（2k-1）x-（3k+2）=0有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由．

提问时间：2020-08-07

答案

这样的k值不存在，理由如下：设y=f（x）=x²+（2k-1）x-（3k+2）并作出如图所示图象，则

△=(2k-1)2+4(3k+2)＞0 f(2)=4+2(2k-1)-(3k+2)＞0 f(4)=16+4(2k-1)-(3k+2)＞0 2＜- b 2a =-k+ 1 2 ＜4

，
整理得，

4k2+8k+9＞0① k＞0② k＞-2③ k＞- 7 2 ④ k＜- 3 2 ⑤

由②⑤可知，此不等式组无解，故k值不存在．

根据一元二次方程有两个实数根，可知△＞0，由两根都在2与4之间可知，f（2）＞0、f（4）＞0，同时可知，对称轴大于2小于4．

本题考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质．

考点点评：此题考查了一元二次方程和二次函数之间的关系，根据函数图象与x轴的交点，列出不等式组，解不等式组即可作出正确判断．