题目

一对共轭双曲线的离心率分别为e₁和e₂，则e₁+e₂的最小值为（　　）
A.

2

B. 2
C. 2

2

D. 4

提问时间：2020-08-07

答案

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率e₁，双曲线

y2

b2

-

x2

a2

=1的离心率为e₂，
∵e1=

c

a

，e2=

c

b

，∴e1+e2=

c

a

+

c

b

=

c(a+b)

ab

，
∵c²=a²+b²，ab≤(

a+b

2

)2，∴e1+e2=

c(a+b)

ab

≥

c(a+b)

(a+b)2 4

=

4c

a+b

．
∵(

4c

a+b

)2=

16(a2+b2)

a2+b2+2ab

≥

16(a2+b2)

2(a2+b2)

=8，∴e₁+e₂的最小值为

8

=2

2

．
故选C．

设双曲线

x2

a2

−

y2

b2

=1的离心率e₁，双曲线

y2

b2

−

x2

a2

=1的离心率为e₂，由题意可知，e1+e2＝

c(a+b)

ab

≥

c(a+b)

(a+b)2 4

＝

4c

a+b

．再由 (

4c

a+b

)2＝

16(a2+b2)

a2+b2+2ab

≥

16(a2+b2)

2(a2+b2)

＝8，得到e₁+e₂的最小值．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：求出e₁和e₂之后，根据a，b，c之间的数量关系利用均值不等式推导e₁+e₂的最小值．