题目

已知椭圆

x2

25

+

y2

16

＝1内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为______．

提问时间：2020-08-07

答案

∵椭圆方程为x225+y216＝1，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（-3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10-|PB'|因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）∵|PA|-|PB'|≤|AB'|∴|...

根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（-3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=
10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．