题目

设m为实数，函数f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h(x)＝

f(x) x (x≠0) 0(x＝0)

．
（1）若f（1）≥4，求m的取值范围；
（2）当m>0时，求证h（x）在[m，+∞）上是单调递增函数；
（3）若h（x）对于一切x∈[1，2]，不等式h（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）f（1）=2+（1-m）|1-m|≥4
当m>1时，（1-m）（m-1）≥2，无解；
当m≤1时，（1-m）（1-m）≥2，解得m≤1-

2

．
所以m≤1-

2

．
（2）由于m>0，x≥m．
所以h（x）=3x+

m2

x

-2m．
任取m≤x₁≤x₂，h（x₂）-h（x₁）=（x₂-x₁）（

3x1x2-m2

x1x2

）
x₂-x₁>0，3x₁x₂-m²>3m²-m²>0，x₁x₂>0
所以h（x₂）-h（x₁）>0即：h（x）在[m，+∞）为单调递增函数．
（3）、①m<1时，x∈[1，2]，f（x）=2x²+（x-m）（x-m）=3x²-2mx+m²，
h（x）=

f(x)

x

≥1恒成立∴f（x）≥x恒成立，
即：g（x）=3x²-（2m+1）x+m²≥0
由于y=g（x）的对称轴为x=

2m+1

6

<1
故g（x）在[1，2]为单调递增函数，
故g（1）≥0∴m²-2m+2≥0．
所以m<1．
②当1≤m≤2时，h（x）=

x- m2 x  +2m   1≤x≤m 3x+ m2 x  -2m  m<x≤2

易证y=x-

m2

x

+m在[1，m]为递增，
由②得y=3x+

m2

x

-2m在[m，2]为递增，
所以，h（1）≥1，即0≤m≤2，
所以1≤m≤2．
③当m>2时，h（x）=x-

m2

x

+2m（无解）
综上所述m≤2．

（1）令x=1代入后对m的值进行讨论即可．
（2）先写出函数h（x）的解析式，然后用增函数的定义法证明．
（2）转化为二次函数，从而根据二次函数的单调性解出实数m的范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查函数的单调性证明和应用．属中档题．