题目
已知函数f(x)=
lnx |
x |
提问时间:2020-08-05
答案
(1)定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=
,
令f′(x)=0,解得x=e,
当f′(x)>0,解得0<x<e,
当f′(x)<0,解得x>e,
∴f(x)的单调递增区间为(0,e);f(x)的单调递减区间为(e,+∞).
(2)∵不等式lnx<mx对一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立,
∴m>
,对一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立,
∴下面即求f(x)=
在x∈[a,2a](其中a>0)上的最大值;
∵a>0,由(1)知:f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
当2a≤e时,即0<a≤
时,f(x)在[a,2a]上单调递增,∴f(x)max=f(2a)=
;
当a≥e时,f(x)在[a,2a]上单调递减,∴f(x)max=f(2a)=
;
当a<e<2a时,即
<a<e时,f(x)在[a,e]上单调递增,f(x)在[e,2a]上单调递减,
∴f(x)max=f(e)=
.
综上得:
当0<a≤
时,m>
;
当a≥e时,m>
;
当
<a<e时,m>
.
∴f′(x)=
1-lnx |
x2 |
令f′(x)=0,解得x=e,
当f′(x)>0,解得0<x<e,
当f′(x)<0,解得x>e,
∴f(x)的单调递增区间为(0,e);f(x)的单调递减区间为(e,+∞).
(2)∵不等式lnx<mx对一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立,
∴m>
lnx |
x |
∴下面即求f(x)=
lnx |
x |
∵a>0,由(1)知:f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
当2a≤e时,即0<a≤
e |
2 |
ln2a |
2a |
当a≥e时,f(x)在[a,2a]上单调递减,∴f(x)max=f(2a)=
lna |
a |
当a<e<2a时,即
e |
2 |
∴f(x)max=f(e)=
1 |
e |
综上得:
当0<a≤
e |
2 |
ln2a |
2a |
当a≥e时,m>
lna |
a |
当
e |
2 |
1 |
e |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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