题目

设命题p：函数f(x)＝lg(ax2−x+

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a)的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数均成立.如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A. （1，+∞）
B. [0，1]
C. [0，+∞）
D. （0，1）

提问时间：2020-08-05

答案

若命题p为真，即ax2−x+

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4

a＞0恒成立．则

a＞0 △＜0

，有

a＞0 1−a2＜0

，∴a＞1．
令y＝3x−9x＝−(3x−

1

2

)2+

1

4

，由x＞0得3^x＞1，∴y=3^x-9^x的值域为（-∞，0）．
∴若命题q为真，则a≥0．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1．
故选B

根据题意，命题p、q有且仅有一个为真命题，分“p真q假”和“p假q真”两种情况加以讨论，即可得出a的取值范围．

本题考点：命题的真假判断与应用；对数函数的定义域．

考点点评：本题考查对函数的定义域理解以及对命题的真假进行判断，属于中档题．解题时注意分类讨论思想的应用．