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题目
数列{an}的前n项和为Sn=2n²,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1,求an和bn的通式,设
设Cn=an/bn,求数列的前n项和Tn

提问时间:2020-08-05

答案
数列{an}的通项
an=Sn-S(n-1)=2n2-2(n-1)2=2(n+n-1)(n-n+1)=4n-2
所以:a1=2,a2=6
因为a1=b1,b2(a2-a1)=b1
所以b1=2,b2=1/2
因为{bn}为等比数列,所以公比q=b2/b1=1/4
所以{bn}为首项是2,公比为1/4的等比数列,通项为:
bn=2×(1/4)^(n-1)
联立an=4n-2,bn=2×(1/4)^(n-1),可得:
Cn=an/bn=(2n-1)×4^(n-1)

Tn= 1 + 3×4 + 5×4^2 +7×4^3 +……+ (2n-1)×4^(n-1) →(1)式
(1)式左右两边同时乘以4,得:
4Tn= 4 + 3×4^2 + 5×4^3 +……+(2n-3)×4^(n-1) + (2n-1)×4^n →(2)式
再将(1)(2)两个式子来对比如下,注意上下对齐的两项,除了(1)式的首项和(2)式的尾项外,中间的所有项的指数都错位相同,即4的一次方,二次方直到n-1次方都一一对应.
你还会发现(3-1)=(5-3)=(7-5)=(2n-1)-(2n-3)=2.
Tn= 1 + 3×4 + 5×4^2 +7×4^3 +……+ (2n-1)×4^(n-1) →(1)式
4Tn= 4 + 3×4^2 +5×4^3 +……+ (2n-3)×4^(n-1) + (2n-1)×4^n →(2)式
(1)式减去(2)式,得:
(1-4)Tn=1+ 2×(4+4^2+4^3+……+4^(n-1)) - (2n-1)×4^n (这种方法叫错位相减)
即-3Tn=1+ 2×(4^n-4)/3 - (2n-1)×4^n

Tn= (2n-1)×4^n + 2×(4-4^n) -1
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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