题目
已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*),
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列.
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列.
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.
提问时间:2020-08-05
答案
(1)证明:∵f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*),
f(x)的图象的顶点的纵坐标为
=3n-8
即an=3n-8(n∈N*),
故{an}为一个以-5为首项,以3为公差的等差数列
(2)由(1)及f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},
则bn=|an|=|3n-8|
当n=1或n=2时3n-8<0,bn=|3n-8|=8-3n b1=5 b2=2
n≥3时3n-8>0 bn=|3n-8|=3n-8
Sn=b1+b2+b3+…+bn
=5+2+(3×3-8)+(3×4-8)…+(3n-8)
=7+3×(3+4+5+…+n)-8(n-2)
=7+
-8(n-2)
=7+
=7+
.
∴Sn=7+
.
f(x)的图象的顶点的纵坐标为
4ac−b2 |
4a |
即an=3n-8(n∈N*),
故{an}为一个以-5为首项,以3为公差的等差数列
(2)由(1)及f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},
则bn=|an|=|3n-8|
当n=1或n=2时3n-8<0,bn=|3n-8|=8-3n b1=5 b2=2
n≥3时3n-8>0 bn=|3n-8|=3n-8
Sn=b1+b2+b3+…+bn
=5+2+(3×3-8)+(3×4-8)…+(3n-8)
=7+3×(3+4+5+…+n)-8(n-2)
=7+
3(n+3)(n−2) |
2 |
=7+
(n−2)(3n+9−16) |
2 |
=7+
(n−2)(3n−7) |
2 |
∴Sn=7+
(n−2)(3n−7) |
2 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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