题目

证明：双曲线χy=a2次方上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于2a2次方

提问时间：2020-08-05

答案

因a^2>0,则图像在一、三象限,图形关于原点对称,讨论第一象限,就可知道第三象限情况.
设xy=a^2上任一点P（x0,y0),其切线为：y=kx+b,
与Y轴交点为A（0,n),与X轴交点B（m,0),
令x=0,y=n,y=0,x=m,0=km+n,k=-n/m,(m>0,n>0)
则切线方程为：y=-nx/m+n,
P为切线和双曲线的公共点,故同时满足二方程条件,
y0=-nx0/m+n,(1)
x0y0=a^2,(2)
(1)代入（2）式,
x0(-nx0/m+n)=a^2,
nx0^2-mnx0+ma^2=0,
因直线和双曲线相切,则只有一个公共点,则二次方程判别式△=0,
m^2n^2-4mna^2=0,
mn=4a^2,
mn/2=2a^2,
∴S△AOB=m*n/2=2a^2.
全部用初中知识解答.